Metrička potpunost prostora ne čuva homeomorfizam.
Što homeomorfizam čuva?
Homeomorfizam, koji se također naziva kontinuirana transformacija, je odnos ekvivalencije i korespondencija jedan prema jedan između točaka u dva geometrijska lika ili topoloških prostora koja je kontinuirana u oba smjera. Homeomorfizam koji također čuva udaljenosti naziva se izometrija.
Čuva li homeomorfizam kompaktnost?
3.3 Svojstva kompaktnih prostora
Prije smo primijetili da je kompaktnost topološko svojstvo prostora, to jest očuvano je homeomorfizmom. Štoviše, čuva ga bilo koja kontinuirana funkcija.
Je li potpunost topološko svojstvo?
Dovršenost nije topološko svojstvo, tj. ne može se zaključiti je li metrički prostor potpun samo gledanjem u temeljni topološki prostor.
Zašto ograničenost nije topološko svojstvo?
Za metričke prostore imamo pojam ograničenosti: to je metrički prostor omeđen ako postoji neki realni broj M takav da je d(x, y) ≤ M za sve x, y. Ograničenost nije topološko svojstvo. Na primjer, (0, 1) i (1, ∞) su homeomorfni, ali jedan je ograničen, a jedan nije. ∞ n=1 je niz točaka u X.
