Prvi teorem koji Pugh dokazuje nakon što definira Riemannov integral je da integrabilnost implicira ograničenost. Ovo je Teorem 15 na stranici 155 u mom izdanju. Ovo pokazuje da se prvo treba složiti oko definicija.
Implicira li Riemann integrabilno ograničeno?
Teorem 4. Svaka Riemannova integrabilna funkcija je ograničena.
Jesu li neograničene funkcije integrabilne?
Neograničena funkcija nije Riemannova integrabilna. U nastavku, “integrabilan” će značiti “Riemann integrabilan, a “integral” će značiti “Riemannov integral” osim ako nije izričito navedeno drugačije. f(x)={ 1/x ako je 0 < x ≤ 1, 0 ako je x=0. pa gornji Riemannovi zbroji od f nisu dobro definirani.
Je li Lebesgueova integrabilna funkcija ograničena?
Mjerljive funkcije koje su ograničene su ekvivalentne Lebesgueovim integrabilnim funkcijama. Ako je f ograničena funkcija definirana na mjerljivom skupu E s konačnom mjerom. Tada je f mjerljivo ako i samo ako je f integrabilno po Lebesgueu. … S druge strane, mjerljive funkcije su "gotovo" kontinuirane.
Kako znati je li funkcija integrabilna po Lebesgueu?
Ako su f, g funkcije takve da je f=g gotovo posvuda, tada je f integrabilno po Lebesgueu ako i samo ako je g integrabilno po Lebesgueu, a integrali od f i g su isto ako postoje.
