Općenito, točkasta konvergencija ne implicira konvergenciju u mjeri. Međutim, za prostor s konačnom mjerom, to je točno, a zapravo ćemo vidjeti u ovom odjeljku da je puno više istinito.
Da li konvergencija gotovo posvuda podrazumijeva konvergenciju u mjeri?
Mjerni prostor o kojem je riječ uvijek je konačan jer mjere vjerojatnosti dodjeljuju vjerojatnost 1 cijelom prostoru. U prostoru s konačnom mjerom, gotovo svugdje konvergencija implicira konvergenciju u mjeri. Stoga gotovo konvergencija implicira konvergenciju u vjerojatnosti.
Implicira li konvergencija po točkama kontinuitet?
Iako je svaki fn kontinuiran na [0, 1], njihova točkasta granica f nije (nekontinuirana je na 1). Dakle, točkovna konvergencija općenito ne čuva kontinuitet.
Implicira li konvergencija u L1 konvergenciju po točkama?
Dakle, točkasta konvergencija, jednolična konvergencija i L1 konvergencija ne impliciraju jedno drugo. Međutim, imamo nekoliko pozitivnih rezultata: Teorem 7 Ako je fn → f u L1, tada postoji podniz fnk takav da je fnk → f u točki a.e.
Što je konvergencija u teoriji mjere?
U matematici, točnije teoriji mjere, postoje različiti pojmovi konvergencije mjera. Za intuitivni opći osjećaj što se podrazumijeva pod konvergencijom u mjeri, razmotriteniz mjera μ na prostoru, dijeleći zajedničku zbirkumjerljivih skupova.