Neka je P Sylow p-podskupina od G. … Ako je G jednostavno, tada ima 10 podskupina reda 3 i 6 podskupina reda 5. Međutim, budući da su ove grupe sve ciklične osnovnog reda, svaki netrivijalni element G nalazi se u najviše jednoj od ovih grupa.
Jesu li P grupe ciklične?
Trivijalna grupa je jedina grupa reda jedan, a ciklička grupa C p jedina je grupa reda p.
Jesu li podskupine ciklične?
Teorem: Sve podskupine cikličke grupe su cikličke. Ako je G=⟨a⟩ cikličan, tada za svaki djelitelj d od |G| postoji točno jedna podskupina reda d koja se može generirati pomoću a|G|/d a | G | / d. Dokaz: Neka je |G|=dn | G |=d n.
Jesu li P Sylow podskupine normalne?
Ako G ima točno jednu Sylow p-podgrupu, to mora biti normalno iz Jedinstvene podgrupe danog naloga je normalno. Pretpostavimo da je Sylowska p-podskupina P normalna. Tada je jednak svojim konjugatima. Dakle, prema Trećem Sylowskom teoremu, može postojati samo jedna takva Sylowska p-podskupina.
Jesu li sylow P-podgrupe Abelove?
Dokazujemo da su silovske p-podgrupe konačne grupe G abelovske ako i samo ako su veličine klasa p-elemenata grupe G koprimečne s p, i, ako je p ∈ { 3, 5 }, stupanj svakog nesvodivog znaka u glavnom p-bloku G je koprost s p.
