Napomena: istina je da svaki ograničeni niz sadrži konvergentni podniz, i nadalje, svaki monotoni niz konvergira ako i samo ako je omeđen. Dodano Pogledajte unos o Teoremu monotone konvergencije za više informacija o zajamčenoj konvergenciji ograničenih monotonskih nizova.
Da li se svaki ograničeni niz konvergira u R?
Teorem kaže da svaki ograničeni niz u R ima konvergentni podniz. Ekvivalentna formulacija je da podskup od R je sekvencijalno kompaktan ako i samo ako je zatvoren i omeđen. Teorem se ponekad naziva teorem o sekvencijalnoj kompaktnosti.
Je li svaki ograničeni niz realnih brojeva konvergentan?
Odgovor i objašnjenje: (a) Je li svaki ograničeni niz konvergentan? Ne.
Da li se svaki ograničeni monotoni niz konvergira?
Nisu svi ograničeni nizovi, kao (−1)n, konvergiraju, ali kad bismo znali da je ograničeni niz monoton, to bi se promijenilo. ako je an ≥ an+1 za sve n ∈ N. Niz je monoton ako je ili rastući ili opadajući. i omeđen, onda konvergira.
Imaju li svi ograničeni nizovi konvergentni podniz?
Bolzano-Weierstrassov teorem: Svaki ograničeni niz u Rn ima konvergentni podniz. od {xmk } je ograničeni niz realnih brojeva, tako da i on ima konvergentni podniz, … Obrnuto, svaki ograničeni niz je uzatvoren i ograničen skup, tako da ima konvergentni podniz.
