U matematici, podskup topološkog prostora naziva se nigdje gustim ili rijetkim ako njegovo zatvaranje ima praznu unutrašnjost. U vrlo labavom smislu, to je skup čiji elementi nisu nigdje čvrsto grupirani. Na primjer, cijeli brojevi nisu nigdje gusti među realnim vrijednostima, dok otvorena lopta nije.
Je li 1 N nigdje gusto?
Primjer skupa koji nije zatvoren, ali još uvijek nigdje gust je {1n|
∈N}. Ima jednu graničnu točku koja nije u skupu (naime 0), ali njezino zatvaranje još uvijek nigdje nije gusto jer se nijedan otvoreni interval ne uklapa unutar {1n|n∈N}∪{0}.
Kako dokazati da skup nigdje nije gust?
A podskup A ⊆ X naziva se nigdje gustim u X ako je unutrašnjost zatvaranja A prazna, tj. (A)◦=∅. Inače, A nije nigdje gusto ako je sadržano u zatvorenom skupu s praznim interijerom. Prijelazeći na komplemente, možemo jednako reći da A nije nigdje gust ako njegov komplement sadrži gust otvoreni skup (zašto?).
Što znači posvuda gusto?
Podskup A topološkog prostora X je gust za koji je zatvaranje cijeli prostor X (neki autori koriste terminologiju posvuda gusto). Uobičajena alternativna definicija je: skup A koji siječe svaki neprazan otvoreni podskup X.
Je li svaki gusti skup otvoren?
Topološki prostor X je hiperpovezan ako i samo ako je svaki neprazan open skup gust u X. Topološki prostor je submaksimalan ako i samo akosvaki gusti podskup je otvoren.
